Analytical Geometry in 3D: Vectors, Planes, and Projections

Analytische Meetkunde in 3D

Vectoren en Coördinaten in 3D

In de analytische meetkunde van drie dimensies worden punten, lijnen, en vlakken beschreven met behulp van vectoren en coördinaten. Dit vormt de basis voor het analyseren van functies van meerdere veranderlijken en vectorcalculus.

• Vectoren worden vaak genoteerd als u = u_1\mathbf{i} + u_2\mathbf{j} + u_3\mathbf{k}.

• De coördinaten van een punt in \mathbb{R}^3 zijn (x, y, z).

Het Scalair Product

Definitie en Eigenschappen

Het scalair product (dot product) van twee vectoren u en v in \mathbb{R}^3 wordt als volgt gedefinieerd:

• Definitie: $u \cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$

• Eigenschappen:

  • $u \cdot v = v \cdot u$ (commutatief)

  • $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ (distributief)

  • $(tu) \cdot v = t(u \cdot v)$ voor elke scalair $t$

  • $u \cdot u = |u|^2$ (norm in het kwadraat)

Hoek tussen Twee Vectoren

De relatie tussen het scalair product en de hoek \theta tussen twee vectoren is:

• $u \cdot v = |u| |v| \cos \theta$

• Orthogonaliteit: $u \cdot v = 0$ als en slechts als u en v loodrecht op elkaar staan.

Projecties van Vectoren

Scalaire Projectie

De scalaire projectie van u op v is de lengte van de schaduw van u op de richting van v:

• $s = |u| \cos \theta = \dfrac{u \cdot v}{|v|}$

Vectorprojectie

De vectorprojectie van u op v is een vector in de richting van v met grootte gelijk aan de scalaire projectie:

• $\mathrm{proj}_v u = \left( \dfrac{u \cdot v}{|v|^2} \right) v$

Voorbeeld

• Schrijf de vector $3\mathbf{i} + \mathbf{j}$ als een som van een vector parallel aan $\mathbf{i} + \mathbf{j}$ en een vector loodrecht daarop.

• Oplossing: Gebruik de vectorprojectieformule om het parallelle deel te vinden, en trek dit af van het origineel voor het loodrechte deel.

Vlakken in 3D

Algemene Vergelijking van een Vlak

Een vlak in \mathbb{R}^3 kan worden beschreven door een normaalvector n = Ai + Bj + Ck en een punt P_0 = (x_0, y_0, z_0):

• Vergelijking: $n \cdot (r - r_0) = 0$

• Uitgeschreven: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

• Standaardvorm: $Ax + By + Cz = D$, met $D = Ax_0 + By_0 + Cz_0$

Voorbeelden

• Bepaal de normaalvector van het vlak $2x - 3y - 4z = 0$ (antwoord: $n = (2, -3, -4)$).

• Bepaal de vergelijking van een vlak door drie gegeven punten door twee richtingsvectoren te nemen en hun kruisproduct als normaalvector te gebruiken.

Afstand van een Punt tot een Vlak

Formule en Toepassing

De afstand s van een punt $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ tot het vlak $Ax + By + Cz = D$ wordt gegeven door:

• $s = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 - D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

• Voorbeeld: Afstand van $(2, -1, 3)$ tot vlak $2x - 2y - z = 9$:

• Berekening: $s = \dfrac{|2 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - 9|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|-6|}{3} = 2$

Afstand van een Punt tot een Rechte

Formule

De afstand van een punt $P_0$ tot een rechte $L$ door $P_1$ evenwijdig aan vector $v$ is:

• $s = \dfrac{|(r_0 - r_1) \times v|}{|v|}$

Hierbij is $r_0$ de positievector van $P_0$, $r_1$ van $P_1$, en $v$ de richtingsvector van de rechte.

Opgaven en Toepassingen

• Bepaal de hoek in een driehoek gegeven door drie punten met behulp van het scalair product.

• Bereken vectorbewerkingen zoals som, verschil, norm, en scalair product.

• Bepaal eenheidsvectoren loodrecht op twee gegeven vectoren (gebruik het kruisproduct).

• Converteer sferische coördinaten naar Cartesische en cilindercoördinaten.

• Beschrijf en schets kwadratische oppervlakken zoals bollen en ellipsoïden.

Samenvatting

• Het scalair product is essentieel voor het bepalen van hoeken, projecties, en orthogonaliteit in 3D.

• Vlakken en rechten in 3D worden beschreven met vectorvergelijkingen en normaalvectoren.

• Afstanden tot vlakken en rechten worden berekend met behulp van projecties en het kruisproduct.