Question 1

Considere a curva definida implicitamente por $$x^3$$ + $$y^3 - 9xy = 0$. Qual das alternativas abaixo representa corretamente o procedimento para encontrar $$\frac{dy}{dx}$$ usando derivação implícita?

Accepted Answer

Derivar ambos os lados em relação a $$x$$, aplicando a regra da cadeia para termos com $$y.$$

Question 2

Dada a equação $$x^2$$ + $$y^2 = 25$, qual é a expressão correta para $$\frac{dy}{dx}$$ após derivar implicitamente ambos os lados em relação a x$?

Accepted Answer

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Question 3

Após derivar implicitamente $$x^2$$ + $$y^2 = 25$, qual é o valor de $$\frac{dy}{dx}$$ em termos de x$ e y$?

Accepted Answer

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Question 4

Considere o ponto $$(3, -4) na $$circunferência $$x^2$$ + $$y^2 = 25$. Qual é o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto?

Accepted Answer

$$\frac{3}{4}$$

Question 5

Ao derivar implicitamente $$y^2$$ = $$x^4$$ + \sin(xy)$$, qual é a derivada de $$\sin(xy)$$ em relação a x$?

Accepted Answer

$$\cos(xy) \left( y + x \frac{dy}{dx} \right)$$

Question 6

Qual das alternativas abaixo representa corretamente a expressão para $$\frac{dy}{dx}$$, após derivar implicitamente $$y^2$$ = $$x^4$$ + \sin(xy)$$?

Accepted Answer

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3$ + \cos(xy) y}{2y - \cos(xy) x}$$

Question 7

Em um contexto de engenharia, a equação $$x^2$$ + $$y^2$$ = $$r^2$$ pode representar a seção transversal de um tubo circular. Se o raio $$r$$ aumenta a uma taxa constante, como a derivada implícita pode ser usada para determinar a taxa de variação de $$y em $$relação a $$x$$?

Accepted Answer

Permite calcular $$\frac{dy}{dx} em $$qualquer ponto da circunferência, mostrando como $$y$$ muda quando $$x$$ muda.

Question 8

Ao derivar implicitamente $$x^3$$ + $$y^3 - 9xy = 0$, qual é a expressão correta para $$\frac{dy}{dx}$$?

Accepted Answer

$$\frac{dy}{dx} = \frac{9y - 3x^2$}{3y^2$ - 9x}$$

Question 9

Seja $$y^2$$ = $$x^4$$ + \sin(xy)$$. Qual das alternativas abaixo representa corretamente o uso da regra do produto ao derivar $$\sin(xy)$$ em relação a x$?

Accepted Answer

A derivada é $$\cos(xy) \left( y + x \frac{dy}{dx} \right)$$, pois $$xy$$ é um produto de duas funções de $$x.$$

Question 10

Em aplicações físicas, como o movimento de partículas em trajetórias circulares, por que a derivada implícita é útil?

Accepted Answer

Porque permite encontrar a taxa de variação de uma coordenada em relação à outra sem isolar explicitamente uma das variáveis.

Question 11

Ao derivar implicitamente $$x^2$$ + $$y^2 = 25$, qual das alternativas representa corretamente o procedimento para encontrar a equação da reta tangente em um ponto $$($$x_0$$, $$y_0$$)$$?

Accepted Answer

Encontrar $$\frac{dy}{dx} e $$usar $$y - y_0$ = m(x - x_0$)$$, onde $$m = \frac{dy}{dx} no $$ponto.

Question 12

Em $$y^2$$ = $$x^4$$ + \sin(xy)$$, qual é o próximo passo após derivar ambos os lados e obter 2y$$ \frac{dy}{dx} = $$4x^3$$ + \cos(xy)(y + x \frac{dy}{dx})$$?

Accepted Answer

Isolar todos os termos com $$\frac{dy}{dx} de um $$lado da equação.

Implicit Differentiation and Applications

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