Study Notes: Relations and Functions (Calculus I, Aula 3)

Funções

Relações

Em matemática, uma relação entre dois conjuntos A e B é qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B. O produto cartesiano A × B é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), onde a pertence a A e b pertence a B.

• Definição: Uma relação R de A em B é um subconjunto de A × B.

• Produto Cartesiano: $A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A,\ b \in B \}$

• Exemplo: Se A = {4, 2} e B = {a, b, c}, então: $A \times B = \{ (4, a), (4, b), (4, c), (2, a), (2, b), (2, c) \}$

Funções

Uma função é um tipo especial de relação entre dois conjuntos A e B. Para cada elemento x em A, existe um único elemento y em B tal que (x, y) pertence à função.

• Definição: Uma função f de A em B é uma relação tal que para todo $x \in A$, existe um único $y \in B$ com $(x, y) \in f$.

• Notação: $f: A \to B$

• Domínio: O conjunto A é chamado de domínio da função.

• Contradomínio: O conjunto B é chamado de contradomínio.

• Imagem: O conjunto dos valores efetivamente atingidos por f, ou seja, $\text{Im}(f) = \{ f(x) \mid x \in A \}$.

• Exemplo: Se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2$, então: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$ $\text{Im}(f) = [0, +\infty)$

Tipos de Funções

As funções podem ser classificadas de acordo com a relação entre o domínio e o contradomínio:

• Função Injetora (Injetiva): Cada elemento do contradomínio é imagem de no máximo um elemento do domínio. Propriedade: $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$

• Função Sobrejetora (Sobrejetiva): Todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio. Propriedade: Para todo $y \in B$, existe $x \in A$ tal que $f(x) = y$

• Função Bijetora (Bijetiva): A função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Cada elemento do contradomínio é imagem de um único elemento do domínio.

Perguntas Frequentes

• Uma função precisa ser sempre de números para números? Não necessariamente. Funções podem ser definidas entre quaisquer conjuntos, mas em cálculo normalmente lidamos com funções numéricas.

• É possível ter dois x com a mesma imagem? Sim, desde que para cada x do domínio haja apenas um y correspondente. O contrário (um x com duas imagens) não é permitido.

• Como determinar o domínio de uma função mais complexa? O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão da função está definida. Por exemplo, para $f(x) = \sqrt{x-4}$, o domínio é $[4, +\infty)$.

• Todo elemento do contradomínio precisa ser imagem de algum x do domínio? Não. Isso só ocorre se a função for sobrejetora.

Tabela: Tipos de Funções

Tipo	Definição	Propriedade
Injetora	Cada elemento do contradomínio é imagem de no máximo um elemento do domínio	$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$
Sobrejetora	Todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio	Para todo $y \in B$, existe $x \in A$ tal que $f(x) = y$
Bijetora	Função é injetora e sobrejetora	Existe correspondência biunívoca entre domínio e contradomínio

Exemplo de Função Não Sobrejetora

• Exemplo: $f(x) = x^2$ com domínio $\mathbb{R}$ e contradomínio $\mathbb{R}$. Nem todo número real é imagem, pois não existe x tal que $x^2 = -1$.

Additional info: Foram incluídas definições formais e exemplos para tornar os conceitos autoexplicativos e adequados ao estudo de Cálculo I.