Q: Una empresa produce dos tipos de productos, A y B. Cada producto A requiere 2 horas de trabajo y 3 unidades de materia prima, mientras que cada producto B requiere 1 hora de trabajo y 4 unidades de materia prima. Si la empresa dispone de 16 horas de trabajo y 22 unidades de materia prima, ¿cuántas unidades de cada producto debe fabricar para utilizar todos los recursos disponibles? Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones correspondiente.

$$\begin{cases} 2x + y = 16 \\ 3x + 4y = 22 \end{cases}$$; $$x = 5$$, $$y = 6$$

Q: Un sistema de ecuaciones lineales tiene la forma $$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$$. ¿Cuál es la condición para que el sistema tenga una única solución?

$$\dfrac{a}{d} \neq \dfrac{b}{e}$$

Question 1

Una empresa produce dos tipos de productos, A y B. Cada producto A requiere 2 horas de trabajo y 3 unidades de materia prima, mientras que cada producto B requiere 1 hora de trabajo y 4 unidades de materia prima. Si la empresa dispone de 16 horas de trabajo y 22 unidades de materia prima, ¿cuántas unidades de cada producto debe fabricar para utilizar todos los recursos disponibles? Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones correspondiente.

Accepted Answer

$$\begin{cases} 2x + y = 16 \ 3x + 4y = 22 \end{cases}$$; $$x = 5$$, $$y = 6$$

Question 2

¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos $$(2, 5) y$$ $$(6, 13)$$?

Accepted Answer

$$m = \dfrac{13 - 5}{6 - 2} = 2$$

Question 3

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

$$\begin{cases} x + 2y = 7 \ 3x - y = 5 \end{cases}$$

Accepted Answer

$$x = 3$$, $$y = 2$$

Question 4

Un químico necesita preparar 10 litros de una solución al 30% mezclando soluciones al 20% y al 50%. ¿Cuántos litros de cada una debe mezclar? Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones.

Accepted Answer

$$x = 6$$ litros de 20% y $$y = 4$$ litros de 50%

Question 5

¿Cuál es la interpretación geométrica de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que tiene infinitas soluciones?

Accepted Answer

Los tres planos representados por las ecuaciones coinciden o se intersectan en una línea común.

Question 6

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \ 4x - y = 8 \end{cases}$$

Accepted Answer

$$x = 2$$, $$y = 2$$

Question 7

En una farmacia, se venden cajas de dos tipos de medicamentos. El medicamento A cuesta $$50$$ pesos y el B cuesta $$80$$ pesos. Si se vendieron 10 cajas en total y la venta total fue de $$650$$ pesos, ¿cuántas cajas de cada tipo se vendieron?

Accepted Answer

7 cajas de A y 3 cajas de B

Question 8

¿Cuál es la ecuación de la recta con pendiente $$m = -3 y $$que pasa por el punto $$(2, 5)$$?

Accepted Answer

$$y = -3x + 11$$

Question 9

Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \ 2x - y + 3z = 14 \ -x + 4y - z = -2 \end{cases}$$

Accepted Answer

$$x = 2$$, $$y = 1$$, $$z = 3$$

Question 10

Un estudiante resuelve el sistema $$\begin{cases} 2x + 4y = 8 \ x + 2y = 4 \end{cases} y $$obtiene que hay infinitas soluciones. ¿Es correcta su conclusión? ¿Por qué?

Accepted Answer

Sí, porque las dos ecuaciones representan la misma recta.

Question 11

En una competencia de matemáticas, el puntaje de cada problema correcto es 5 puntos y cada incorrecto resta 2 puntos. Si un estudiante resolvió 12 problemas y obtuvo 40 puntos, ¿cuántos problemas resolvió correctamente?

Accepted Answer

8 problemas correctos

Question 12

¿Cuál es la ordenada al origen de la recta $$3x - 2y = 6$$?

Accepted Answer

$$y = -3$$

Question 13

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción:

$$\begin{cases} 5x + 2y = 12 \ 3x - 2y = 0 \end{cases}$$

Accepted Answer

$$x = 2$$, $$y = 1$$

Question 14

Un sistema de ecuaciones lineales en tres variables no tiene solución. ¿Qué significa esto en términos geométricos?

Accepted Answer

Los tres planos no tienen ningún punto en común.

Question 15

En una tienda, se venden refrescos en latas y botellas. Una lata cuesta $$12$$ pesos y una botella $$18$$ pesos. Si se vendieron 20 unidades y se recaudaron $$288$$ pesos, ¿cuántas latas y cuántas botellas se vendieron?

Accepted Answer

12 latas y 8 botellas

Question 16

¿Cuál es la ecuación general de una recta con pendiente $$m y $$ordenada al origen $$b$$?

Accepted Answer

$$y = mx + b$$

Question 17

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 9 \ 2x - y + 3z = 16 \ -x + 4y - z = -1 \end{cases}$$

Accepted Answer

$$x = 2$$, $$y = 3$$, $$z = 1$$

Question 18

Un sistema de ecuaciones lineales tiene la forma $$\begin{cases} ax + by = c \ dx + ey = f \end{cases}$$. ¿Cuál es la condición para que el sistema tenga una única solución?

Accepted Answer

$$\dfrac{a}{d} 
eq \dfrac{b}{e}$$

Question 19

En un laboratorio, se mezclan dos soluciones: una al 10% y otra al 40%, para obtener 15 litros de una solución al 20%. ¿Cuántos litros de cada una se deben mezclar?

Accepted Answer

10 litros de 10% y 5 litros de 40%

Sistemas de Ecuaciones Lineales: Modelación y Resolución

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