Question 1

Considere a curva $$x^3$$ + $$y^3 - 9xy = 0$. Qual das alternativas abaixo melhor descreve por que essa curva não é o gráfico de uma função de x$?

Accepted Answer

Porque para alguns valores de $$x$$ existem múltiplos valores de $$y$$ que satisfazem a equação.

Question 2

Ao derivar implicitamente a equação $$x^2$$ + $$y^2 = 25$ em relação a x$, qual expressão representa corretamente $$\frac{dy}{dx}$$?

Accepted Answer

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Question 3

Qual é o coeficiente angular da reta tangente à circunferência $$x^2$$ + $$y^2 = 25$ no ponto (3$$, -4)$$?

Accepted Answer

$$\frac{3}{4}$$

Question 4

Ao derivar implicitamente $$x^2$$ + $$y^2 = 25$, qual das alternativas representa corretamente o processo de diferenciação?

Accepted Answer

$$\frac{d}{dx}(x^2$) + \frac{d}{dx}(y^2$) = \frac{d}{dx}(25)$$

Question 5

Em relação à derivada implícita, por que a expressão $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$ é válida para qualquer ponto da circunferência, e não apenas para pontos abaixo do eixo $$x$$?

Accepted Answer

Porque a derivada envolve as duas variáveis $$x e$$ $$y$$, não apenas a variável independente.

Question 6

Seja $$x^2$$ + $$y^2 = 25$. Qual é a equação da reta tangente à circunferência no ponto (0$$, 5)$$?

Accepted Answer

$$y = 5$$

Question 7

Considere a curva $$x^3$$ + $$y^3 - 9xy = 0$. Se você quiser encontrar $$\frac{dy}{dx}$$ em um ponto genérico, qual técnica deve ser utilizada?

Accepted Answer

Derivação implícita

Question 8

Em um contexto de física, suponha que a posição de uma partícula seja dada pela circunferência $$x^2$$ + $$y^2 = 25$. Se a partícula está no ponto (4$$, 3)$$, qual é a razão de variação de y$ em relação a x$ nesse ponto?

Accepted Answer

$$-\frac{4}{3}$$

Question 9

Qual das alternativas abaixo representa corretamente o significado geométrico de $$\frac{dy}{dx}$$ para a circunferência $$x^2$$ + $$y^2 = 25$?

Accepted Answer

É o coeficiente angular da reta tangente à circunferência em um ponto específico.

Question 10

Seja $$x^2$$ + $$y^2 = 25$. Qual das alternativas abaixo NÃO é verdadeira sobre a derivada implícita dessa equação?

Accepted Answer

A derivada depende apenas de $$x.$$

Question 11

Em um problema de engenharia, um engenheiro precisa calcular a inclinação de uma rampa que tangencia a circunferência $$x^2$$ + $$y^2 = 25$ no ponto (-5$$, 0)$$. Qual é o valor de $$\frac{dy}{dx}$$ nesse ponto?

Accepted Answer

Indeterminado

Question 12

Seja $$x^2$$ + $$y^2 = 25$. Qual é a equação da reta tangente à circunferência no ponto (3$$, 4)$$?

Accepted Answer

$$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$$

Implicit Differentiation and Tangent Lines to Implicit Curves

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