Q: Welche Eigenschaft gilt für das Skalarprodukt zweier Vektoren $$a, b \in \mathbb{R}^m$$?

$$a^\top b = a_1$ b_1$ + a_2$ b_2$ + ... + a_m b_m$$

Q: Wie berechnet man die Kosten für die Bestellung von Kunde A, wenn die Preise pro Einheit $$p = (3, 2, 1, 4)^\top$$ sind und die Bestellung $$a = (3, 1, 2, 2)^\top$$?

$$a^\top p = 3 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4$$

Q: Welche Aussage beschreibt die Orthogonalität zweier Vektoren $$a, b \in \mathbb{R}^m$$?

Die Vektoren sind orthogonal, wenn $$a^\top b = 0.$$

Q: Im Leontief-Modell: Wie berechnet man den Endnachfragevektor $$\tilde{b} f$$ür einen gegebenen Produktionsvektor $$\tilde{a}$$ und Direktbedarfsmatrix $$D$$?

$$\tilde{b} = (E - D) \tilde{a}$$

Question 1

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Definition eines Vektors im $$\mathbb{R}^m$$?

Accepted Answer

Ein Vektor ist ein geordnetes $$m-$$Tupel reeller Zahlen.

Question 2

Wie berechnet man die Länge (Norm) eines Vektors $$a = (a_1$, a_2$, ..., a_m)^	op im$$ $$\mathbb{R}^m$$?

Accepted Answer

$$\|a\| = \sqrt{a_1$^2 + a_2$^2 + ... + a_m^2$}$$

Question 3

Welche Eigenschaft gilt für das Skalarprodukt zweier Vektoren $$a, b \in \mathbb{R}^m$$?

Accepted Answer

$$a^	op b = a_1$ b_1$ + a_2$ b_2$ + ... + a_m b_m$$

Question 4

Ein Händler verkauft Erdbeeren, Wassermelonen, Bananen und Trauben. Die Lagerbestände sind $$\ell = (12, 8, 15, 7)^	op. $$Kunde A bestellt $$a = (3, 1, 2, 2)^	op$$, Kunde B $$b = (1, 0, 0, 4)^	op$$, Kunde C $$c = (1, 1, 1, 1)^	op. $$Wie berechnet man den Restlagerbestand?

Accepted Answer

$$r = \ell - (a + b + c)$$

Question 5

Wie berechnet man die Kosten für die Bestellung von Kunde A, wenn die Preise pro Einheit $$p = (3, 2, 1, 4)^	op$$ sind und die Bestellung $$a = (3, 1, 2, 2)^	op$$?

Accepted Answer

$$a^	op p = 3 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4$$

Question 6

Welche Aussage beschreibt die Orthogonalität zweier Vektoren $$a, b \in \mathbb{R}^m$$?

Accepted Answer

Die Vektoren sind orthogonal, wenn $$a^	op b = 0.$$

Question 7

Welche der folgenden Mengen ist ein linearer Unterraum von $$\mathbb{R}^2$$?

Accepted Answer

$$U = \{ (t, 2t) : t \in \mathbb{R} \}$$

Question 8

Welche Aussage ist korrekt bezüglich der linearen Unabhängigkeit von Vektoren?

Accepted Answer

Vektoren sind linear unabhängig, wenn das homogene LGS $$A\lambda = 0$$ nur die Lösung $$\lambda = 0$$ hat.

Question 9

Wie lautet die Matrixmultiplikation $$C = AB f$$ür $$A \in M(m, n)$$ und $$B \in M(n, r)$$?

Accepted Answer

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$$

Question 10

Welche Aussage ist korrekt bezüglich der Inversen einer Matrix $$A \in M(n, n)$$?

Accepted Answer

Die Inverse $$A^{-1}$$ existiert genau dann, wenn die Spaltenvektoren von $$A$$ linear unabhängig sind.

Question 11

Im Leontief-Modell: Wie berechnet man den Endnachfragevektor $$	ilde{b} f$$ür einen gegebenen Produktionsvektor $$	ilde{a}$$ und Direktbedarfsmatrix $$D$$?

Accepted Answer

$$	ilde{b} = (E - D) 	ilde{a}$$

Question 12

Welche Aussage beschreibt die Lösung eines linearen Gleichungssystems $$Ax = b$$, wenn $$A$$ invertierbar ist?

Accepted Answer

Die Lösung ist $$x = A$$^{-1}$$ b.$$

Question 13

Welche Aussage ist korrekt bezüglich der Anzahl der Lösungen eines LGS $$Ax = b in $$kanonischer Form, wenn $$r = n$$ und $$r = m$$?

Accepted Answer

Das LGS hat genau eine Lösung.

Question 14

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

$$E = 	ext{diag}(1, 1, 1)$$

Question 15

Welche Eigenschaft gilt für die Matrixmultiplikation im Allgemeinen?

Accepted Answer

Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ.

Question 16

Welche Aussage beschreibt die Dimension eines Vektorraums $$V = \mathbb{R}^n$$?

Accepted Answer

Die Dimension ist $$n$$, also die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren.

Question 17

Welche Aussage ist korrekt bezüglich der Basis eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Basis besteht aus linear unabhängigen Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Linear Algebra Foundations: Vectors, Matrices, and Linear Systems

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