Question 1

Considere a curva definida implicitamente por $$x^3$$ + $$y^3 - 9xy = 0$. Qual das alternativas abaixo representa corretamente a derivada implícita $$\frac{dy}{dx}$$ para essa curva?

Accepted Answer

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2$ - 9y}{3y^2$ - 9x}$$

Question 2

Ao derivar implicitamente a equação do círculo $$x^2$$ + $$y^2 = 25$ em relação a x$, qual expressão representa $$\frac{dy}{dx}$$?

Accepted Answer

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Question 3

Dada a equação $$y^2$$ = $$x^4$$ + \sin(xy)$$, qual é a derivada implícita $$\frac{dy}{dx}$$?

Accepted Answer

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3$ + y \cos(xy)}{2y - x \cos(xy)}$$

Question 4

Qual é o coeficiente angular da reta tangente à circunferência $$x^2$$ + $$y^2 = 25$ no ponto (3$$, -4)$$?

Accepted Answer

$$-\frac{3}{4}$$

Question 5

Ao derivar implicitamente $$x^3$$ + $$y^3 - 9xy = 0$, qual regra de derivação é fundamental para encontrar $$\frac{dy}{dx}$$?

Accepted Answer

Regra do produto

Question 6

Seja $$x^2$$ + $$y^2 = 25$. Qual das alternativas abaixo representa corretamente o procedimento para encontrar $$\frac{dy}{dx}$$?

Accepted Answer

Derivar ambos os lados em relação a $$x$$, aplicando a regra da cadeia para $$y$$

Question 7

Em qual situação a derivada implícita é especialmente útil?

Accepted Answer

Quando a função não pode ser facilmente isolada em $$y$$

Question 8

Considere a curva $$x^3$$ + $$y^3 - 9xy = 0$. Qual é o valor de $$\frac{dy}{dx}$$ no ponto (0$$,0)$$?

Accepted Answer

Indeterminado

Question 9

Ao derivar implicitamente $$y^2$$ = $$x^4$$ + \sin(xy)$$, qual das alternativas abaixo representa corretamente a derivada de $$\sin(xy)$$ em relação a x$?

Accepted Answer

$$\cos(xy) \cdot (y + x \frac{dy}{dx})$$

Question 10

Em um contexto físico, a derivada implícita pode ser usada para determinar:

Accepted Answer

A taxa de variação de uma variável em relação a outra quando ambas dependem do tempo

Question 11

Se $$y$$ é definida implicitamente por $$y^2$$ = $$x^4$$ + \sin(xy)$$, qual é o próximo passo após derivar ambos os lados em relação a x$?

Accepted Answer

Isolar $$\frac{dy}{dx}$$

Question 12

Qual das alternativas abaixo representa corretamente a aplicação da derivada implícita em $$x^2$$ + $$y^2 = 25$?

Accepted Answer

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Implicit Differentiation and Applications in Calculus

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