Question 1

Considere a curva definida implicitamente por $$x^2$$ + $$y^2 = 25$. Qual é a derivada $$\frac{dy}{dx}$$ em termos de x$ e y$?

Accepted Answer

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Question 2

Em um ponto $$P = (3, -4)$$ sobre o círculo $$x^2$$ + $$y^2 = 25$, qual é o coeficiente angular da reta tangente?

Accepted Answer

$$-\frac{3}{4}$$

Question 3

Ao derivar implicitamente $$y^2$$ = $$x^4$$ + \sin(xy)$$ em relação a x$, qual termo aparece devido à derivada de $$\sin(xy)$$?

Accepted Answer

$$\cos(xy) \cdot (y + x \frac{dy}{dx})$$

Question 4

Qual das alternativas abaixo representa corretamente o procedimento para derivar implicitamente uma equação envolvendo $$x e$$ $$y$$?

Accepted Answer

Tratar $$y$$ como função de $$x e $$aplicar a regra da cadeia em ambos os lados da equação.

Question 5

Seja $$x^3$$ + $$y^3 - 9xy = 0$. Qual é a expressão para $$\frac{dy}{dx}$$ obtida por derivação implícita?

Accepted Answer

$$\frac{dy}{dx} = \frac{9y - 3x^2$}{3y^2$ - 9x}$$

Question 6

Em um contexto de engenharia, a equação $$x^2$$ + $$y^2$$ = $$r^2$$ pode representar a seção transversal de um tubo. Se o raio $$r$$ aumenta a uma taxa constante, como a derivada implícita pode ser usada para determinar a taxa de variação de $$y em $$relação a $$x$$?

Accepted Answer

Usando $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$ para encontrar a inclinação da curva em qualquer ponto.

Question 7

Ao derivar implicitamente $$y^2$$ = $$x^4$$ + \sin(xy)$$, qual é a expressão completa para $$\frac{dy}{dx}$$?

Accepted Answer

$$2y\frac{dy}{dx} = 4x^3$ + \cos(xy)(y + x\frac{dy}{dx})$$

Question 8

Qual das alternativas abaixo é verdadeira sobre a derivada implícita de uma curva definida por $$F(x, y) = 0$$?

Accepted Answer

A derivada implícita pode envolver tanto $$x$$ quanto $$y na $$resposta final.

Question 9

Em um problema físico, a equação $$x^2$$ + $$y^2$$ = $$r^2$$ descreve o movimento de uma partícula ao longo de um círculo. Se $$x$$ está aumentando a uma taxa de $$2$$ unidades por segundo quando $$x = 3 e$$ $$y = 4$$, qual é a taxa de variação de $$y$$ nesse instante?

Accepted Answer

$$\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \cdot \frac{dx}{dt} = -\frac{3}{4} \cdot 2 = -1.5$$

Question 10

Qual das alternativas abaixo representa corretamente a aplicação da derivada implícita em um contexto de economia, onde $$x e$$ $$y$$ representam variáveis interdependentes, como preço e demanda?

Accepted Answer

A derivada implícita permite calcular como uma variação em $$x$$ afeta $$y$$, mesmo quando não é possível isolar $$y$$ explicitamente.

Implicit Differentiation and Applications in Calculus

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